Static Game of Complete Information
1 完全信息静态博弈 完全信息：每个参与者的收益函数在所有参与者之间是共同知识 静态博弈：各方同时行动，每个人的行动都会影响各自的收益，即收益函数不仅仅与个人自己的选择有关 如何描述一个博弈问题： 博弈的三要素：参与者，策略集，收益 如何求解博弈的解：严格劣战略，纳什均衡 四个应用模型：古诺模型/贝特兰德模型/最后要价仲裁/公共财产问题 混合战略均衡与纳什定理 1.1 博弈的标准表示和纳什均衡 囚徒困境可以使用双变量矩阵表来表示，习惯上将横行代表的参与者收益放在前面 博弈的标准表示： 博弈的参与者 每个参与者可供选择的战略集 针对所有参与者可能选择的战略组合，每个参与者获得的收益 形式化定义： 记n个博弈者的标号为i，参与者i的战略空间为$S_i$，其中一个特定的战略为$s_i\in S_i$，令 $$ (s_1,s_2,…,s_n) $$ 表示每个参与者选定一个战略形成的战略组合，令 $$ u_i(s_1,s_2,…,s_n) $$ 表示参与者选择战略$s_1…s_n$时，参与者$i$的收益。 定义 在一个$n$人博弈的标准式表述中，用 $$ G={S_1, …,S_n;u_1, …,u_n} $$ 表示此博弈。 1.1.1 重复剔除严格劣策略 定义：一个严格劣策略是指，对于某个博弈方的某个策略，对于任何一个策略组合，该策略的收益均小于该博弈方选择某个其他策略的收益。 形式化定义：在标准式博弈 $$ G={S_1, …,s_n;u_1,…,u_n} $$ 中，令$s_i’,s_i’’$代表参与者i的两个可行战略组合。若对于其他战略者的每一个战略组合，i选择$s_i’$的收益均小于其选择$s_i’’$的收益， 则称$s_i’$相对于$s_i’’$是严格劣策略： $$ u_i(s_1, …,s_{i-1},s_i’,s_{i+1},…,s_n)<u_i(s_1, …,s_{i-1},s_i’’,s_{i+1},…,s_n) $$ 对其他参与者在其战略空间 $$ S_1, …,S_{i-1},S_{i+1},…,S_n $$ 中每一组可能的战略 $$ s_1, …,s_{i-1},s_{i+1},…,s_n $$ 都成立。 在解决博弈问题的时候可以使用重复剔除劣策略的方法来求得解。 缺陷是需要假定参与者是理性的是共同知识，经常是不精确的。 1.1.2 纳什均衡的导出和定义 定义：在n个人参与的标准式博弈$G={S_1, …,s_n;u_1,…,u_n}$中，如果战略组合 $$ {s_1’, …,s_n’} $$ 满足对每一个参与者i，$s_i’$是针对其他n-1个参与者所选战略 $$ {s_1’, …,s_{i-1}’,s_{i+1}’,…,s_n’} $$ 的最佳应对，即 $$ u_i(s_1’,…,s_{i-1}’,s_i’,s_{i+1}’,…,s_n’)\geqslant u_i(s_1’,…,s_{i-1}’,s_i,s_{i+1}’,…,s_n’)\tag{1} $$ 则称战略组合 $$ {s_1’, …,s_n’} $$ 是该博弈的一个纳什均衡。 ...
